Dr.Godfried-Willem RAES

Kursus Experimentele Muziek: Boekdeel 1: Algoritmische kompositie

Hogeschool Gent : Departement Muziek & Drama


<Terug naar inhoudstafel kursus> Naar Noot->frekwentie lookup table Noot: de inhoud van deze paragraaf behoort tevens tot de leerstof voor het vak akoestiek.

1084:

GELIJKZWEVENDE TOONSYSTEMEN


Alle hier uitgevoerde berekeningen gaan uit van diapason La = 440.0Hz Noten worden uitgedrukt als fraktionele midi getallen, waarbij noot 60 overeenkomt met de centrale Do (C) op het pianoklavier.

Kwintenspiralen: 
Reine kwinten (3:2) in gelijkzwevende stemmingen
fout in cents: 1            aantal kwinten= 665 (aantal kwinten nodig om met 1 cent nauwkeurigheid te sluiten)
fout in cents: 2            aantal kwinten= 359 
fout in cents: 4            aantal kwinten= 53 
fout in cents: 24           aantal kwinten= 12 
De afwijking bij 12 tonen, benaderd de historische syntonische komma= 200/9 = 22.2

De gelijkzwevend verkregen intervallen kunnen we nu vergelijken met de juiste boventoonsintervallen:
In het 12-tonig gelijkzwevend systeem:

Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:  15.64  2 ^ ( 3/ 12). Interval: 60   63
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:  -13.69  2 ^ ( 4/ 12). Interval: 60   64
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:         -1.95  2 ^ ( 5/ 12). Interval: 60   65
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:          1.96  2 ^ ( 7/ 12). Interval: 60   67

In het 53 tonig gelijkzwevend systeem: 
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:  -1.34  2 ^ ( 14/ 53). Interval: 60   63.16981
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:    1.41  2 ^ ( 17/ 53). Interval: 60   63.84906
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:          -.07  2 ^ ( 22/ 53). Interval: 60   64.98113
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:           .07  2 ^ ( 31/ 53). Interval: 60   67.01887
Dat een 53 toons systeem merkelijk juistere intervallen oplevert, hoeft geen betoog.
Ongebruikelijk in onze klassieke muziek, maar rekenkundig perfekt mogelijk, kunnen we ook uitgaan van kwartencircels, met als resultaat:
  
Reine kwarten (4:3) in gelijkzwevende stemmingen
fout in cents: 1            aantal kwarten= 7621 
fout in cents: 2            aantal kwarten= 306 
fout in cents: 6            aantal kwarten= 253 
fout in cents: 9            aantal kwarten= 200 
fout in cents: 13           aantal kwarten= 147 
fout in cents: 17           aantal kwarten= 94 
fout in cents: 20           aantal kwarten= 41 
fout in cents: 44           aantal kwarten= 29 
fout in cents: 67           aantal kwarten= 17 
Bij een 41-tonen per oktaaf stemming in reine kwarten, wordt onze stemming juister dan wat kan worden bereikt bij een 53-toons verdeling in de reine kwinten stemming. De afwijking is dan net iets kleiner dan de syntonische komma.
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -6.31  2 ^ ( 11/ 41). Interval: 60   63.21952
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:   5.83  2 ^ ( 13/ 41). Interval: 60   63.80488
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:          .48  2 ^ ( 17/ 41). Interval: 60   64.97561
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:         -.48  2 ^ ( 24/ 41). Interval: 60   67.02439
 
De verdeling van het oktaaf in zeventien intervallen levert:
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:  33.29  2 ^ ( 4/ 17). Interval: 60   62.82353
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:   33.37  2 ^ ( 5/ 17). Interval: 60   63.52942
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:          3.93  2 ^ ( 7/ 17). Interval: 60   64.94118
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:         -3.93  2 ^ ( 10/ 17). Interval: 60  67.05883
 
Opdat de intervallencirkel zich binnen een redelijk aantal cycli zou sluiten, is het vereist dat het cirkelinterval geen deler is of gemeenschappelijk heeft met 12, teminste voorzover we een toonsysteem willen waarin konventionele muziek nog steeds redelijk speelbaar blijft... Op grond hiervan zouden we dan ook een systeem kunnen baseren op de juiste grote septiem.
Grote septiemen (15:8) in gelijkzwevende stemmingen
fout in cents: 1            aantal 15:8 septiemen= 537 
fout in cents: 3            aantal 15:8 septiemen= 247 
fout in cents: 7            aantal 15:8 septiemen= 204 
fout in cents: 12           aantal 15:8 septiemen= 161 
fout in cents: 16           aantal 15:8 septiemen= 118 
fout in cents: 21           aantal 15:8 septiemen= 75 
fout in cents: 25           aantal 15:8 septiemen= 32 
fout in cents: 54           aantal 15:8 septiemen= 21 
 
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:   -27.22  2 ^ ( 6/ 21). Interval: 60   63.42857
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:    -13.69  2 ^ ( 7/ 21). Interval: 60   64
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:          -16.24  2 ^ ( 9/ 21). Interval: 60   65.14285
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:           16.24  2 ^ ( 12/ 21). Interval: 60  66.85714

Waarom dit nooit aanleiding gaf tot praktische muziek, zal wel duidelijk zijn...
Evenmin gebruikelijk, maar bepleitbaar, zou zijn een stemmming te steunen op zo juist mogelijke grote (5:4) of kleine (6:5) tertsen:

Grote juiste tertsen (5:4) in gelijkzwevende stemmingen
fout in cents: 1            aantal 5:4 tertsen= 2075 
fout in cents: 2            aantal 5:4 tertsen= 146 
fout in cents: 10           aantal 5:4 tertsen= 87 
fout in cents: 17           aantal 5:4 tertsen= 28 
fout in cents: 58           aantal 5:4 tertsen= 25 
fout in cents: 99           aantal 5:4 tertsen= 22 
   
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent: -11.63  2 ^ ( 6/ 22). Interval: 60   63.27273
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:    4.5  2 ^ ( 7/ 22).  Interval: 60   63.81818
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:          7.14  2 ^ ( 9/ 22). Interval: 60   64.90909
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:         -7.14  2 ^ ( 13/ 22).Interval: 60   67.09091
 
Kleine juiste tertsen (6:5) in gelijkzwevende stemmingen
fout in cents: 1            aantal 6:5 tertsen= 422 
fout in cents: 4            aantal 6:5 tertsen= 403 
fout in cents: 7            aantal 6:5 tertsen= 384 
fout in cents: 10           aantal 6:5 tertsen= 365 
fout in cents: 12           aantal 6:5 tertsen= 346 
fout in cents: 15           aantal 6:5 tertsen= 327 
fout in cents: 18           aantal 6:5 tertsen= 308 
fout in cents: 21           aantal 6:5 tertsen= 289 
fout in cents: 24           aantal 6:5 tertsen= 270 
fout in cents: 26           aantal 6:5 tertsen= 251 
fout in cents: 29           aantal 6:5 tertsen= 232 
fout in cents: 32           aantal 6:5 tertsen= 213 
fout in cents: 35           aantal 6:5 tertsen= 194 
fout in cents: 38           aantal 6:5 tertsen= 175 
fout in cents: 41           aantal 6:5 tertsen= 156 
fout in cents: 43           aantal 6:5 tertsen= 137 
fout in cents: 46           aantal 6:5 tertsen= 118 
fout in cents: 49           aantal 6:5 tertsen= 99 
fout in cents: 52           aantal 6:5 tertsen= 80 
fout in cents: 55           aantal 6:5 tertsen= 61 
fout in cents: 57           aantal 6:5 tertsen= 42 
fout in cents: 60           aantal 6:5 tertsen= 23 

De gelijkzwevende 19 toons verdeling van het oktaaf heeft een grote graad van perfektie bereikt voor de harmonische juistheid van de kleine tertsen. Het is een stemming die heel wat verdedigers heeft gehad.

Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:   -.15  2 ^ ( 5/ 19). Interval:  60   63.1579
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:    7.37  2 ^ ( 6/ 19). Interval:  60   63.78947
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:         -7.22  2 ^ ( 8/ 19). Interval:  60   65.05264
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:          7.22  2 ^ ( 11/ 19). Interval: 60   66.94737
 
   
Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:  2.6    2 ^ ( 6/ 23). Interval:  60   63.13044
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:  21.1    2 ^ ( 7/ 23). Interval:  60   63.65218
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:       -23.69   2 ^ ( 10/ 23). Interval: 60   65.21739
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:        23.69   2 ^ ( 13/ 23). Interval: 60   66.78261

Uit bovenstaande berekeningen en overwegingen blijkt de op kwinten gesteunde gelijkzwevende stemming voor een 12 tonige verdeling van het oktaaf alleszins nog het meest ekonomisch te zijn. Maar, in plaats van uit te gaan van een enkel interval dat we zo dicht mogelijk bij het platonische ideaal laten aanleunen, kunnen we ook pogen een optimalisatie te vinden waarbij zoveel mogelijk van de diatonische intervallen 'juist' klinken. Dit is precies wat Huygens en Fokker voor ogen stond bij de ontwikkeling van de door hen voorgestelde gelijkzwevende stemming met 31-tonen per oktaaf.

Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:  5.96  2 ^ ( 8/ 31).  Interval: 60   63.09678
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:   -.78  2 ^ ( 10/ 31). Interval: 60   63.87097
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:        -5.18  2 ^ ( 13/ 31). Interval: 60   65.03226
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:         5.18  2 ^ ( 18/ 31). Interval: 60   66.96774
In plaats van het oktaaf te verdelen in twaalf gelijkzwevende delen, kunnen we ook de duodeciem (oktaaf + kwint) gelijkzwevend verdelen in 19 halvetoons intervallen. Het voordeel is dat we dan steeds juiste kwinten hebben, maar de oktaven iets aan juistheid inboeten. In de laatste jaren gaan meer en meer stemmen op om onze pianos en orkestinstrumenten op deze wijze te gaan stemmen en intoneren.
We hebben beide systemen berekend en in volgende tabel tegenover elkaar gesteld:
Vergelijking verdeling oktaaf in 12 delen, of duodeciem in 19 delen, gelijkzwevend
noot= 24      12-root 2 freq= 32.7032     19-root 3 freq= 32.7032
noot= 25      12-root 2 freq= 34.64783    19-root 3 freq= 34.64989
noot= 26      12-root 2 freq= 36.7081     19-root 3 freq= 36.71247
noot= 27      12-root 2 freq= 38.89088    19-root 3 freq= 38.89782
noot= 28      12-root 2 freq= 41.20345    19-root 3 freq= 41.21325
noot= 29      12-root 2 freq= 43.65354    19-root 3 freq= 43.66651
noot= 30      12-root 2 freq= 46.24931    19-root 3 freq= 46.26581
noot= 31      12-root 2 freq= 48.99944    19-root 3 freq= 49.01983
noot= 32      12-root 2 freq= 51.9131     19-root 3 freq= 51.93779
noot= 33      12-root 2 freq= 55.00001    19-root 3 freq= 55.02944
noot= 34      12-root 2 freq= 58.27048    19-root 3 freq= 58.30512
noot= 35      12-root 2 freq= 61.73542    19-root 3 freq= 61.7758
noot= 36      12-root 2 freq= 65.4064     19-root 3 freq= 65.45307
noot= 37      12-root 2 freq= 69.29567    19-root 3 freq= 69.34923
noot= 38      12-root 2 freq= 73.41621    19-root 3 freq= 73.47732
noot= 39      12-root 2 freq= 77.78176    19-root 3 freq= 77.85114
noot= 40      12-root 2 freq= 82.40691    19-root 3 freq= 82.4853
noot= 41      12-root 2 freq= 87.30708    19-root 3 freq= 87.39533
noot= 42      12-root 2 freq= 92.49862    19-root 3 freq= 92.59763
noot= 43      12-root 2 freq= 97.99888    19-root 3 freq= 98.1096
noot= 44      12-root 2 freq= 103.8262    19-root 3 freq= 103.9497
noot= 45      12-root 2 freq= 110         19-root 3 freq= 110.1374
noot= 46      12-root 2 freq= 116.541     19-root 3 freq= 116.6934
noot= 47      12-root 2 freq= 123.4708    19-root 3 freq= 123.6397
noot= 48      12-root 2 freq= 130.8128    19-root 3 freq= 130.9995
noot= 49      12-root 2 freq= 138.5913    19-root 3 freq= 138.7974
noot= 50      12-root 2 freq= 146.8324    19-root 3 freq= 147.0595
noot= 51      12-root 2 freq= 155.5635    19-root 3 freq= 155.8134
noot= 52      12-root 2 freq= 164.8138    19-root 3 freq= 165.0883
noot= 53      12-root 2 freq= 174.6142    19-root 3 freq= 174.9154
noot= 54      12-root 2 freq= 184.9972    19-root 3 freq= 185.3274
noot= 55      12-root 2 freq= 195.9978    19-root 3 freq= 196.3592
noot= 56      12-root 2 freq= 207.6524    19-root 3 freq= 208.0477
noot= 57      12-root 2 freq= 220         19-root 3 freq= 220.432
noot= 58      12-root 2 freq= 233.0819    19-root 3 freq= 233.5534
noot= 59      12-root 2 freq= 246.9417    19-root 3 freq= 247.4559
noot= 60      12-root 2 freq= 261.6256    19-root 3 freq= 262.186
noot= 61      12-root 2 freq= 277.1827    19-root 3 freq= 277.7929
noot= 62      12-root 2 freq= 293.6648    19-root 3 freq= 294.3288
noot= 63      12-root 2 freq= 311.127     19-root 3 freq= 311.8491
noot= 64      12-root 2 freq= 329.6276    19-root 3 freq= 330.4122
noot= 65      12-root 2 freq= 349.2283    19-root 3 freq= 350.0803

noot= 66      12-root 2 freq= 369.9945    19-root 3 freq= 370.9192
noot= 67      12-root 2 freq= 391.9955    19-root 3 freq= 392.9986
noot= 68      12-root 2 freq= 415.3048    19-root 3 freq= 416.3923
noot= 69      12-root 2 freq= 440.0001    19-root 3 freq= 441.1784
noot= 70      12-root 2 freq= 466.1638    19-root 3 freq= 467.4401
noot= 71      12-root 2 freq= 493.8834    19-root 3 freq= 495.2649
noot= 72      12-root 2 freq= 523.2512    19-root 3 freq= 524.7461
noot= 73      12-root 2 freq= 554.3654    19-root 3 freq= 555.9822
noot= 74      12-root 2 freq= 587.3296    19-root 3 freq= 589.0776
noot= 75      12-root 2 freq= 622.2541    19-root 3 freq= 624.1431
noot= 76      12-root 2 freq= 659.2552    19-root 3 freq= 661.2958
noot= 77      12-root 2 freq= 698.4566    19-root 3 freq= 700.6602
noot= 78      12-root 2 freq= 739.989     19-root 3 freq= 742.3677
noot= 79      12-root 2 freq= 783.991     19-root 3 freq= 786.558
noot= 80      12-root 2 freq= 830.6096    19-root 3 freq= 833.3787
noot= 81      12-root 2 freq= 880.0001    19-root 3 freq= 882.9864
noot= 82      12-root 2 freq= 932.3277    19-root 3 freq= 935.5471
noot= 83      12-root 2 freq= 987.7668    19-root 3 freq= 991.2366
noot= 84      12-root 2 freq= 1046.502    19-root 3 freq= 1050.241
noot= 85      12-root 2 freq= 1108.731    19-root 3 freq= 1112.758
noot= 86      12-root 2 freq= 1174.659    19-root 3 freq= 1178.996
noot= 87      12-root 2 freq= 1244.508    19-root 3 freq= 1249.177
noot= 88      12-root 2 freq= 1318.51     19-root 3 freq= 1323.535
noot= 89      12-root 2 freq= 1396.913    19-root 3 freq= 1402.32
noot= 90      12-root 2 freq= 1479.978    19-root 3 freq= 1485.795
noot= 91      12-root 2 freq= 1567.982    19-root 3 freq= 1574.238
noot= 92      12-root 2 freq= 1661.219    19-root 3 freq= 1667.946
noot= 93      12-root 2 freq= 1760        19-root 3 freq= 1767.233
noot= 94      12-root 2 freq= 1864.655    19-root 3 freq= 1872.429
noot= 95      12-root 2 freq= 1975.534    19-root 3 freq= 1983.888
noot= 96      12-root 2 freq= 2093.005    19-root 3 freq= 2101.981
noot= 97      12-root 2 freq= 2217.461    19-root 3 freq= 2227.103
noot= 98      12-root 2 freq= 2349.319    19-root 3 freq= 2359.674
noot= 99      12-root 2 freq= 2489.016    19-root 3 freq= 2500.136
noot= 100     12-root 2 freq= 2637.021    19-root 3 freq= 2648.959
noot= 101     12-root 2 freq= 2793.826    19-root 3 freq= 2806.641
noot= 102     12-root 2 freq= 2959.956    19-root 3 freq= 2973.71
noot= 103     12-root 2 freq= 3135.964    19-root 3 freq= 3150.723
noot= 104     12-root 2 freq= 3322.438    19-root 3 freq= 3338.273
noot= 105     12-root 2 freq= 3520        19-root 3 freq= 3536.987
noot= 106     12-root 2 freq= 3729.311    19-root 3 freq= 3747.53
noot= 107     12-root 2 freq= 3951.067    19-root 3 freq= 3970.606
noot= 108     12-root 2 freq= 4186.01     19-root 3 freq= 4206.96
noot= 109     12-root 2 freq= 4434.923    19-root 3 freq= 4457.384
noot= 110     12-root 2 freq= 4698.637    19-root 3 freq= 4722.715
noot= 111     12-root 2 freq= 4978.033    19-root 3 freq= 5003.84
noot= 112     12-root 2 freq= 5274.042    19-root 3 freq= 5301.699
noot= 113     12-root 2 freq= 5587.653    19-root 3 freq= 5617.288
noot= 114     12-root 2 freq= 5919.912    19-root 3 freq= 5951.662
noot= 115     12-root 2 freq= 6271.928    19-root 3 freq= 6305.942
noot= 116     12-root 2 freq= 6644.876    19-root 3 freq= 6681.31
noot= 117     12-root 2 freq= 7040.001    19-root 3 freq= 7079.022
noot= 118     12-root 2 freq= 7458.622    19-root 3 freq= 7500.408
noot= 119     12-root 2 freq= 7902.134    19-root 3 freq= 7946.878
noot= 120     12-root 2 freq= 8372.02     19-root 3 freq= 8419.924

Juistheid van de 6:5 kleine terts in cent:  15.33  3 ^ ( 3/ 19). Interval: 60   63.00309
Juistheid van de 5:4 grote terts in cent:  -14.1  3 ^ ( 4/ 19).  Interval: 60   64.00412
Juistheid van de 4:3 kwart in cent:         -2.47  3 ^ ( 5/ 19). Interval: 60   65.00515
Juistheid van de 3:2 kwint in cent:          1.24  3 ^ ( 7/ 19). Interval: 60   67.0072
Juistheid van de 2:1 oktaaf in cent:        -1.24  3 ^ ( 12/ 19).Interval: 60   72.01235



Gelijkaardige berekeningen voor kwarttoonsverdelingen kunnen bekeken worden via onderstaande link.

Kwarttoons gelijkzwevende stemmingen hebben in de loop van de geschiedenis tot op vandaag vele pleitbezorgers gekend. Charles Ives, Yvan Wiesniegradsky en Alois Haba zijn wellicht de bekendste voorbeelden uit de eerste helft van de twintigste eeuw. Er werden en worden ook heel wat instrumenten speciaal voor gebouwd en ontworpen.

tabellen met de afwijkingen tegenover de juiste boventoonsstemming van alle gelijkzwevende stemmingen opgebouwd uit 7 tot 53 intervallen per oktaaf:

 


Filedate: 2001-02-15 /2007-03-25

Terug naar inhoudstafel kursus: <Index Kursus> Naar homepage dr.Godfried-Willem RAES Naar opzoektabel noot-> frekwentie